Wiskundige modellering met Markov-ketens en stochastische methoden - dummies

A stochastisch model te koppelen > is een tool die u kunt gebruiken om waarschijnlijke uitkomsten te schatten wanneer een of meerdere modelvariabelen willekeurig worden gewijzigd. Een Markov-keten - ook wel een discrete tijd Markov-keten genoemd - is een stochastisch proces dat fungeert als een wiskundige methode om een ​​reeks willekeurig gegenereerde variabelen die de huidige toestand vertegenwoordigen samen te ketenen om te modelleren hoe veranderingen in de aanwezigen optreden toestandsvariabelen beïnvloeden toekomstige staten.

Stel je voor dat je graag reist, maar dat je alleen reist naar plaatsen die a) een tropisch paradijs zijn, b) ultramoderne steden, of c) bergachtig in hun majesteit. Wanneer u vervolgens kiest om verder te reizen, neemt u altijd uw beslissingen volgens de volgende regels:

U reist precies elke twee maanden.

• Als je vandaag naar een tropisch gebied reist, reis je vervolgens naar een ultramoderne stad (met een kans van 7/10) of naar een plek in de bergen (met een kans van 3/10), maar je reist niet naar een ander tropisch paradijs naast.

• Als je vandaag naar een ultramoderne stad reist, reis je naast een tropisch paradijs of een bergachtige regio met dezelfde waarschijnlijkheid, maar zeker niet naar een andere ultramoderne stad.

• Als u vandaag naar de bergen reist, reist u langs een tropisch paradijs (met een kans van 7/10) of een ultramoderne stad (met een - waarschijnlijkheid van 2/10) of een andere bergachtige regio (met een prob -capaciteit van 1/10).

• Omdat je keuze voor waar je morgen naartoe moet reizen alleen afhangt van waar je vandaag reist en niet waar je in het verleden hebt gereisd, kun je een speciaal soort statistisch model gebruiken dat bekendstaat als een Markov-keten om modelleer de besluitvorming bij uw bestemming. Bovendien kunt u dit model gebruiken om statistieken te genereren om te voorspellen hoeveel van uw toekomstige vakantiedagen u zult doorbrengen in een tropisch paradijs, een bergachtige majesteit of een ultramoderne stad.

Als we wat nauwkeuriger kijken naar wat hier gebeurt, vertegenwoordigt het hierboven beschreven scenario zowel een stochastisch model als een Markov-ketenmethode. Het model bevat een of meer willekeurige variabelen en laat zien hoe veranderingen in deze variabelen van invloed zijn op de voorspelde resultaten. In Markov-methoden moeten toekomstige staten afhankelijk zijn van de waarde van de huidige staat en voorwaardelijk onafhankelijk zijn van alle vroegere staten.

U kunt Markov-ketens gebruiken als een hulpmiddel voor gegevenswetenschap door een model te bouwen dat voorspellende schattingen genereert voor de waarde van toekomstige gegevenspunten op basis van wat u weet over de waarde van de huidige gegevenspunten in een gegevensset.Gebruik Markov-ketens om toekomstige staten te voorspellen die uitsluitend gebaseerd zijn op wat er in de huidige status van een systeem gebeurt.

Markov-ketens zijn uitermate nuttig bij het modelleren van verschillende real-world processen. Ze worden vaak gebruikt in modellen voor de uitwisseling van aandelenmarkten, in modellen voor financiële activumbepaling, in spraakherkenningssystemen, in zoek- en rangschikkingssystemen voor websites, in thermodynamische systemen, in genreguleringssystemen, in staatsschattingsmodellen, voor patroonherkenning en voor populatiemodellering.

Een belangrijke methode in Markov-ketens is in de processen van de Markov-keten Monte Carlo (MCMC). Een Markov-keten zal uiteindelijk een

steady state bereiken - een lange-termijnreeks van waarschijnlijkheden voor de toestanden van de keten. U kunt dit kenmerk gebruiken om kansverdelingen af ​​te leiden en vervolgens uit die verdelingen te bemonsteren door Monte Carlo-steekproeven te gebruiken om schattingen op lange termijn van toekomstige staten te genereren.